확률의 정의 썰풀이

: 723 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:07:08 <9847877>
확률의 정의가 무엇이라고 생각하시나요? 재미있는 썰을 풀어볼까 합니다.
: 725 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:10:42 <9847880>
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-썰이라면 감사히 듣죠!


: 726 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:10:43 <9847881>
자아, 과카몰리 님, 이과계라고 스스로 밝히셨으니 좋은 썰풀이 상대가 되어 주시겠군요.
그래서 확률이 뭘까요?
: 727 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:11:03 <9847882>
(질답형 썰풀이)
: 728 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:11:39 <9847883>
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-으음...
-어떤 일이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것?


: 729 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:12:24 <9847884>
그렇다면, 일이 뭐고, 가능성이 뭐에요?
: 730 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:17:02 <9847885>
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-호오...
-일이란 한 사건, 즉 특정 상황이 현실이 되는 것이고...
-가능성은...
-생각을 시작한지 3분이 지났으니 아웃인 걸로 치겠습니다


: 731 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:20:12 <9847887>
그렇다면 먼저 세상의 모든 일들을 모아놓고, 그 안에서 특정한 일들을 뽑는데,
그 특정한 일들이 세상의 모든 일들 사이에서 얼만큼이나 큰 비중을 차지하는지 알아보는 것이 바로 그 특정한 일들이 일어날 확률이겠군요?
: 732 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:20:50 <9847888>
그래서 우리는 세상의 모든 일들을 모아놓은 집합을 생각해야만 하겠지요.
그 집합을 P라고 합시다.
: 733 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:21:40 <9847889>
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-보통은 U로 하지 않나요?


: 734 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:21:45 <9847890>
특정한 일들의 집합은, P의 어떤 부분집합 S가 되겠죠.
그렇다면, S의 원소들이 일어날 확률을 어떻게 재면 좋겠습니까?
: 735 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:24:10 <9847892>
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-음...
-가능한 모든 경우의 수의 갯수를 센다고 답변하면, 모든 사건은 일어나거나 일어나지 않는 반반이 될테고...
-해당 일이 일어난다는 결과에 이를 수 있는 모든 경로의 수를 센다?


: 736 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:26:17 <9847894>
일단 경로 같은 건 다루지 않는 걸로 해요.
만약 세상에 일어날 수 있는 일이 유한 개 뿐이고, 그 일들이 모두 비슷비슷하게 일어난다면,
우리는 그 확률을 (S의 원소갯수)/(P의 원소갯수)라고 할 수도 있겠죠.
: 737 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:27:03 <9847895>
그런데 유한 개의 일들만이 일어난다고 할지라도, 그 일들이 같은 빈도로 일어나지 않을 수도 있어요.
그 경우에 우리는 각각의 일들에 가중치를 두어서, (S의 원소들의 가중치의 합)/(P의 원소들의 가중치의 합)으로 확률을 정의할 수도 있겠죠.
: 738 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:28:02 <9847898>
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-뭐, 제가 경로 운운한 이유는 일들이 비슷비슷하게 일어난다고 가정하지 않고, 비슷비슷하게 일어나도록 쪼개기 위해서였으니까요
-수학멀록님의 말에 대해서 저는 반대하지 않습니다


: 739 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:28:27 <9847899>
하지만 우리는 세상에 유한 개의 일들만이 일어난다고 생각하지 않아요.
예를 들어서, 0과 1 사이의 실수들을 뽑는데, 그것이 유리수일 확률을 따지고 싶다고 해요.
이 때, P=[0,1]이고, S는 0과 1 사이의 유리수들의 집합인데, 이 경우에 어떻게 확률을 따질 수 있을까요?
: 740 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:30:01 <9847900>
그리고 사실 P의 모든 부분집합에 대해 잘 정의된 확률을 부여할 수는 없는 경우도 있어요. (놀랍죠?)
: 741 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:31:21 <9847901>
결국 확률을 정의하는 것은 다음의 문제들에 답을 하는 것으로 바꿀 수 있어요.
(1) P의 어떤 부분집합들에 대해 확률을 잴 수 있을까?
(2) 확률을 잴 수 있는 P의 부분집합 S가 주어질 때, S의 확률을 어떻게 정해야 할까?
: 742 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:32:23 <9847902>
무언가를 정의하고 싶다면, 항상 그 정의된 객체가 무엇을 만족해야 할지부터 생각한 후, 그 과정을 역순으로 따라가야 해요.
그러니 생각해 봅시다.
: 743 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:33:29 <9847903>
먼저, 만약 P의 부분집합 S가 "확률을 잴 수 있는" 부분집합이라면, 그 여집합 P-S 또한 확률을 잴 수 있어야겠죠?
P-S의 원소들은 S의 원소들이 일어나지 않는 경우들이니까요.
: 744 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:34:29 <9847904>
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-그렇죠?


: 745 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:34:29 <9847905>
그리고, 만약 P의 부분집합 S,T가 확률을 잴 수 있는 집합들이라면, S∪T 또한 확률을 잴 수 있어야겠죠.
: 746 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:35:53 <9847906>
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-맞는 말이네요


: 747 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:36:17 <9847907>
또한, P 자신 또한 확률을 잴 수 있는 녀석이어야겠죠. (그 확률은 1이어야겠고 말이죠)
그리고, P의 "확률을 잴 수 있는" 부분집합 S에 대해 그 확률을 m(S)라고 한다면,
상식적으로, m(P)=1이고, 임의의 "확률을 잴 수 있는" 부분집합 S,T⊂P에 대해, 만약 S∩T가 공집합이라면, m(S∪T)=m(S)+m(T)여야 할 거에요.
: 748 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:37:26 <9847908>
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-확실히 그렇습니다만...
-'여야 할 거에요'라는 것은 반대되는 예를 들어주신다는 이야기인가요?


: 749 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:40:37 <9847909>
그런데 아직 끝나지 않았어요!
우리는 가산무한합을 허용할 거에요.
다시 말해서, 임의의 "확률을 잴 수 있는" 부분집합 S_1,S_2,…⊂P에 대해 S_1 ∪ S_2 ∪ … 또한 확률을 잴 수 있어야 하며,
만약 임의의 i,j에 대해 S_i ∩ S_j가 공집합이라면, ∑m(S_i) = m(S_1 ∪ S_2 ∪ …)여야 해요.
: 750 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:43:21 <9847910>
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-이해했습니다!


: 751 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:43:30 <9847911>
그래서, 우리는 다음과 같은 정의를 할 수 있어요. (P 대신 정석적인 표기인 Ω를 씁니다)
(참고: 집합 X의 멱집합 P(X)란, X의 모든 부분집합들의 집합을 의미함)

[정의] 집합 Ω와 부분집합 M⊂P(Ω)가 주어질 때, M이 Ω 위의 [σ-대수]라는 것은, 다음의 조건을 만족하는 것을 의미해요.;
(1) 공집합과 Ω는 M의 원소이다.
(2) 임의의 S∈M에 대해 Ω-S∈M이다.
(3) 임의의 S_1,S_2,…∈M에 대해 S_1∪S_2∪… ∈ M이다.
: 752 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:47:27 <9847913>
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-질문있습니다!
-M이 Ω 위의 [σ-대수]라는 것이 결국엔 무엇을 의미하나요?


: 753 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:47:58 <9847914>
[정의] 집합 Ω와 그 위의 σ-대수 M이 주어질 때 우리는 (Ω,M)을 [가측공간]이라고 해요.

[정의] 가측공간 (Ω,M)이 주어질 때, 함수 m:M->[0,∞]가 [측도]라는 것은, 다음의 조건을 만족하는 것을 의미해요.
(1) m(공집합) = 0.
(2) 만약 어떤 원소들 S_1,S_2,…∈M이 서로 다른 임의의 자연수 i,j에 대해 S_i∩S_j = 공집합 을 만족할 때, m(S_1∪S_2∪…) = ∑m(S_i)이다.

[정의] 가측공간 (Ω,M) 위의 측도 m:M->[0,∞]이 주어질 때 우리는 (Ω,M,m)을 [측도공간]이라고 해요.
: 754 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:48:40 <9847915>
[정의] 측도공간 (Ω,M,m)이 m(Ω) = 1을 만족할 때, 우리는 m을 [확률측도]라고 하고, (Ω,M,m)을 [확률공간]이라고 해요.
: 755 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:50:40 <9847916>
직관적으로, (Ω,M,m)이 확률공간이라는 것은, 이런 뜻이에요.
- Ω는 이 세상에 일어날 수 있는 모든 일들의 집합
- M은 확률을 잴 수 있는 경우집합들을 모두 모아놓은 집합
- m은 바로 확률
: 756 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:51:47 <9847917>
그렇다면, 지금까지 설명한 확률의 정의를 사용해서, 어떻게 "0과 1 사이의 임의의 실수를 뽑을 때 유리수가 나올 확률"이라는 말을 정당화할 수 있을지 생각해보죠.
: 757 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:52:10 <9847919>
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-이 주제글의 753에서 시간이 좀 걸리긴 했지만 이해했거나 혹은 그렇다고 착각하고있습니다!


: 758 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:55:16 <9847920>
[정리] 실수집합 R 위의 어떤 σ-대수 M과 측도 m이 존재하여, 다음의 조건을 만족한다.
(1) 임의의 개구간은 M의 원소이다.
(2) m(Z) = 0인 임의의 Z∈M, 그리고 임의의 부분집합 S⊂Z에 대해 S∈M이다. (이 때 당연히 m(S) = 0)
(3) 임의의 폐구간 [a,b]에 대해 m([a,b]) = b-a이다.

이 정리의 증명은 사실 자명하지 않아요. 수학어장을 찾아주세요.
: 759 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:55:21 <9847921>
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-으음... 제가 이 주제글의 756을 하는건가요?


: 760 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:56:08 <9847922>
이 측도 m을 우리는 1차원 르벡 측도라고 불러요!
와! 르벡! 어디서 들어본 수학자 이름!
: 761 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:57:49 <9847923>
이 때, M의 부분집합 N = {S∩[0,1] | S∈M}을 생각하고, 측도 m의 정의역을 N으로 제한시키면,
m([0,1]) = 1-0 = 1이기 때문에, ([0,1],N,m)은 확률공간이 되겠죠!
: 762 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 04:59:12 <9847924>
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-나와라 꺼라위키!
-르벡이란 인물을 찾을 수 없습니다 멀록!


: 763 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:00:16 <9847925>
이 때, 0과 1 사이의 유리수들의 집합 Q∩[0,1]은 가산집합이기 때문에, 그 원소들을 q_1,q_2,…와 같이 나열할 수 있어요.
그런데, 각각의 i에 대해서 m({q_i}) = 0이기 때문에, m(Q∩[0,1]) = ∑0 = 0이에요.
따라서, "0과 1 사이의 실수를 임의로 뽑았을 때, 뽑힌 실수가 유리수일 확률은 0"이라는 말이 성립하는 거에요.
: 764 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:01:36 <9847926>
그렇다면, 이제 이런 말을 생각해 보죠.

"임의의 정수를 뽑았을 때, 뽑힌 정수가 n의 배수일 확률은 1/n이다."

과연 이건 말이 되는 이야기일까요?
: 765 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:02:20 <9847927>
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-음...
-제가 직관적으로 내린 결론과 비슷하네요
-제가 하려던 건, 위의 문제를 한 면적에서 유리수의 면적을 구하는 문제로 변화시키는 거였습니다


: 766 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:02:28 <9847928>
확률공간의 정의를 생각해 봤을 때, 이 이야기는 과연 말이 될까요?
: 767 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:04:06 <9847931>
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-이 주제글의 764 0은 모든 정수의 배수인가요?
-그렇더라도 그렇지 않더라도 모든 정수의 개수를 무한대로 잡는다면 묻히겠지만요...


: 768 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:07:44 <9847932>
답은, 방금 제시한 확률의 정의로는 이 말을 정당화할 수 없다, 입니다.
그 이유는 다음과 같습니다.
: 769 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:14:00 <9847933>
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-뭐, 괜한 트집이였고요
-우선, 직관으로 이 주제글의 764를 해석해볼까요
-이 문제는, 폭이 1이고 길이가 무한대인 자를 놓고, 그 중에서 모든 칸의 길이가 1일때 n-1칸이 색칠되어있지 않고 1칸이 색칠되어있기를 반복할 때, 색칠된 면적/자의 면적으로 해석됩니다
-적어도 저의 직관으로는요
-그럼, 이 자의 길이를 무한대에서 1로 줄여봅시다!
-이러면 색칠된 1칸의 면적은 1/무한대, 즉 0으로 줄어듭니다
-그런데, 1/무한대(유리수의 갯수-1개만큼 있을 간격의 수)*무한대(유리수와 가장 가까운 유리수 사이에 존재할 무리수)와 무한대(유리수의 갯수)를 곱한 방금의 문제와는 달리, 1/무한대(n의 배수의 갯수)와 무한대(정수의 갯수)를 곱하게 되므로, 이 문제는 해석이 불가능하단 결론이 나오네요
-정당화되지 않나요?


: 770 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:14:19 <9847934>
위의 말을 정당화하려면, 다음의 조건을 만족하는 가측공간 (Z,P(Z)) 위의 확률측도 m이 존재해야 해요. (Z는 정수들의 집합)
[조건] 임의의 정수 a,b에 대해 m({a}) = m({b}). (정말로 정수를 임의로 뽑는다면, 각각의 정수들이 뽑힐 확률은 같아야겠죠?)
: 771 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:14:30 <9847935>
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-아니, 정당화 되지 않는게 정상인가요?


: 772 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:15:58 <9847936>
그러니, 임의의 정수 a에 대해 m({a})는 어떤 고정된 수라고 보는 것이 자연스럽고, 그 수를 p라고 하면,
1 = m(Z) = ∑_{모든 정수 a} m({a})이므로, 만약 p가 양수라면 1 = ∞*p = ∞가 되어 모순이에요. 따라서 p = 0이어야 해요.
그런데 그렇다면 1 = m(Z) = ∑0 = 0이 돼요. 모순!
: 773 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:16:45 <9847937>
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-이 주제글의 770에서 하고싶은 말은, m(Ω) = 1이 불가능하단 것이죠?
-(정답을 확신한 도야가오)


: 774 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:17:56 <9847938>
이 문제를 해결하는 방법이 있어요. 측도의 정의를 바꾸면 돼요.
[정의] 가측공간 (Ω,M)이 주어질 때, 함수 m:M->[0,∞]가 [유한가산(finitely additive) 측도]라는 것은, 다음의 조건을 만족하는 것을 의미해요.
(1) m(공집합) = 0.
(2) 만약 어떤 원소들 S_1,S_2,…,S_n∈M이 n 이하의 서로 다른 임의의 자연수 i,j에 대해 S_i∩S_j = 공집합 을 만족할 때, m(S_1∪S_2∪…∪S_n) = m(S_1)+…+m(S_n)이다.
: 775 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:18:16 <9847939>
이 주제글의 773 네 맞습니다(웃음)
: 776 이과계 과카몰리◆L0VYWu0tsY (6896456E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:20:14 <9847940>
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-이 주제글의 774에서 제시된 바뀐 정의가 어떻게 측도가 존재할 수 있도록 되는지 모르겠는데요...


: 777 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:22:18 <9847941>
이 때, 다음의 정리가 성립해요. (증명은 자명하지 않음)
[정리] 가측공간 (Z,P(Z)) 위의 어떤 유한가산 확률측도 m이 존재하여, 다음을 만족한다.
(1) 임의의 부분집합 S⊂Z와 임의의 정수 a에 대해, 집합 S+a = {s+a | s∈S}를 생각할 때, m(S+a) = m(S)이다.
(2) 어떤 부분집합 S⊂Z와 양의 정수 n이 주어질 때, 만약 극한값 lim_{k->∞} (S∩[-k,k]의 원소갯수)/2k 가 존재한다면, 그 극한값은 m(S)와 같다.
: 778 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:23:10 <9847942>
이 주제글의 776 확률측도 대신 유한가산 확률측도를 사용하면, 모든 정수 a에 대해 m({a}) =0이더라도 m(Z)가 여전히 1일 수 있게 되죠.
Z는 무한집합이니까.
: 779 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:23:48 <9847943>
그런데 여기서 주의할 점은, 이 주제글의 777의 유한가산 확률측도는 유일하지 않다는 점이에요.
그 반면, 이 주제글의 758의 측도는 유일해요.
: 780 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:25:02 <9847944>
그러니, 참 재미있게도, "임의의 정수를 뽑는 방법"은 유일하지 않아요. 사실, 실수들의 갯수만큼 서로 다른 방법들이 있어요.
하지만, 그 중에서 어떤 방법을 채택하든, n의 배수가 나올 확률은 1/n이 되는 셈이에요.
: 781 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학멀록 아옳옳옳옳 수학빌런◆u7QIUHkPbQ (6930422E+6)
2018-06-08(불탄다..!) 05:28:39 <9847945>
수학멀록의 썰은 여기까지─